Goniometrische (on)gelijkheden

Nada

Member
Bij het oplossen van goniometrische (on)gelijkheden heb ik vaak het gevoel dat ik zo maar iets probeer en dan per toeval een goede uitkomst krijg. Bestaat er een meer structurele aanpak? Tips om dergelijke (on)gelijkheden aan te pakken zijn zeker welkom.
 
Bijvoorbeeld: sin(x) - sin(3x) = 1 + cos(4x)

Eens ik de oplossing zie, is het wel logisch hoe het in elkaar zit. Vind het moeilijk om zelf tot een oplossing te komen omdat ik geen structurele werkwijze heb, buiten zomaar iets te proberen.
 
Er is geen stappenplan dat altijd werkt en er is ook geen "enige juiste manier". Dat betekent ook dat je inderdaad dingen kan proberen en hoe meer je oefent en inzicht krijgt, hoe sneller je een goede/efficiënte aanpak zal vinden. Begin niet als een kip zonder kop, kijk waar je heen wil en denk een paar stappen vooruit. Formules die nuttig zijn moet je natuurlijk bij de hand hebben of, nog beter, grotendeels uit het hoofd kennen.

Bijvoorbeeld: sin(x) - sin(3x) = 1 + cos(4x)

Eens ik de oplossing zie, is het wel logisch hoe het in elkaar zit. Vind het moeilijk om zelf tot een oplossing te komen omdat ik geen structurele werkwijze heb, buiten zomaar iets te proberen.

Er is dus niet zoiets als "de oplossing" en ik weet niet wat je modeloplossing zegt, maar als je hiernaar kijkt:
- je wil uiteindelijk kunnen vereenvoudigen, bv. door te ontbinden in factoren zodat je het in kleinere, eenvoudigere vergelijkingen opsplitst;
- links is van de vorm sin(a)-sin(b) en schreeuwt om omgezet te worden in het product via 2*cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2);
- rechts stoort de "+1" maar je hebt cos(2a) = 2*cos²a-1 of cos(2a) = 1-2*sin²a, de eerste variant is hier duidelijk handiger (1-1 = 0).

Dus:
sin(x) - sin(3x) = 1 + cos(4x)
2*cos(2x)*sin(-x) = 1 + 2*cos²(2x) - 1
-2*cos(2x)*sin(x) = 2*cos²(2x)

En je hebt cos(2x) gemeenschappelijk, dus volgt
cos(2x) = 0 of -sin(x) = cos(2x)

De eerste is standaard en de tweede eenvoudig (maar ook hier: verschillende mogelijkheden om op te lossen!).

Veel oefenen, veel proberen. Niet random, maar nadenken. Iets proberen en vastzitten is geen probleem: terugkeren en iets anders proberen. Succes!
 
Om te antwoorden op je vraag over een structurele aanpak: Ik zou dit willen vergelijk met het oplossen van een sudoku/denkpuzzel. Je kan veel zaken proberen, maar uiteindelijk zijn er maar een paar manieren die werken. Door het veel te doen, krijg je de feeling welke richting je uit moet en welke patronen aanleiding geven tot het gebruiken van welke formules.
 
Jezus Christus, dat er een tijd geweest is dat ik daar mee speelde. Compleet en volledig weg. Ergens prikkelt het mij wel om dat nog eens vast te pakken, maar dan denkt mijn luie zelf "voor wie zijnen heiligen zou je dat in godsnaam doen". Sinussen, Cosinnussen en tangensen, het doet me wat denken aan mijn eerste lief. Twas leuk maar kweet haar naam niet meer.
 
Bij het oplossen van goniometrische (on)gelijkheden heb ik vaak het gevoel dat ik zo maar iets probeer en dan per toeval een goede uitkomst krijg. Bestaat er een meer structurele aanpak? Tips om dergelijke (on)gelijkheden aan te pakken zijn zeker welkom.

Second.
Ik was dus duidelijk niet de enige die daar zo over dacht indertijd. Vond ik met voorsprong het saaiste wiskunde-onderdeel. Wat regeltjes uit het hoofd leren en dan random pogingen doen.
Succes ermee.
 
Goniometrische vergelijkingen zijn, mijns inziens, een goeie training voor wat wiskunde verder wordt in de laatste jaren van het middelbaar.
Tot dan kun je bijna algoritmisch te werk gaan om een oplossing te vinden voor een probleem. Als je goed analytisch kan denken kan je door de eerste 4 jaar van het middelbaar vliegen zonder veel te leren, puur op inzicht.

Bij zaken als goniometrie en integraalberekening gaat het meer om het leren herkennen van patronen. Dat kan je alleen leren door veel oefeningen te maken, hoe slim je ook bent.

Er is niet veel 'random' aan. Je hebt bepaalde tools tot je beschikking (de trigonometrische identiteiten), waar je een bepaald probleem mee moet oplossen.
Als je een meubel moet bouwen met wat ruw hout, heb je ook verschillende manieren om er te raken, maar je ervaring zal je toch al gauw snel leren wanneer het nuttiger is om een handschaaf of een hamer te gebruiken. De theorie bestuderen, daar raak je maar 30% verder mee.
Als complete leek kun je de theorie bestuderen en vervolgens een complexe designkoffietafel proberen te maken, maar het zal sowieso een shitty tafel zijn, tenzij je een goddelijk supertalent hebt.

Niet proberen om 'de truc' of 'het inzicht' te verwerven. Gewoon oefeningen maken, oefeningen maken, en oefeningen maken, en op den duur maken je hersenen vanzelf nieuwe verbindingen aan die je dergelijke oefeningen veel efficiënter zullen doen maken.
 
Laatst bewerkt:
Terug
Bovenaan