Archief - Vraagstuk kansberekening

'k vind het eigl een interessante vraag hoe de situatie dan is als de persoon aan wie ge het vraagt maar van 1 van de twee het geslacht weet.
De vader heeft dan in dit verhaal maar 1 van de 2 pups gezien, en weet dat dit een vrouwtje is, wat is dan de kans dat de andere ook een vrouwtje is?
Zitten we dan in't 1/2 verhaal of in't 1/3 verhaal. Ge kunt voor beiden argumenteren denk ik, en dat is wat dit zo'n lastig vraagstuk maakt. Zeker de opgave zoals OP ze geeft laat compleet in't midden welke informatie we nu precies hebben .

Riverdale27 zei:

Dit vraagstuk

Klik om te vergroten...

Het is mij onduidelijk of je met "dit vraagstuk" refereert naar de vraag in deze topic of naar de link die je gepost hebt: Boy or Girl paradox - Wikipedia, the free encyclopedia
Ik veronderstel het tweede (gezien uw antwoord), maar hieronder toch nog een kleine nuance specifiek over de vraag in deze topic.

Een minieme aanpassing in de vraag (al dan niet bewust) heeft een grote impact.

Riverdale27 zei:

2) Uiteraard is er een verschil in informatie tussen "iemand is een meisje" en "de eerste is een meisje".

Klik om te vergroten...

Ja, maar dit is net het gedeelte dat zeer duidelijk geformuleerd is in de vraag. De enige informatie die de echtgenoot geeft is dat er minstens 1 vrouwtje is.
Het onduidelijke gedeelte is de vraagstelling: of er uitgegaan wordt van een bepaalde sortering tussen de vraagsteller en de persoon die het antwoord moet geven (men kan gelijk welke sortering nemen) en men daarbij dus effectief "tweede hond bedoelt" (de echtgenoot heeft zich hierover nergens uitgesproken, dit is enkel iets tussen vraagsteller en de persoon die het antwoord moet geven) of niet.

Als men puur kijkt naar het meest logische antwoord, dan is dat eigenlijk 2/3 zoals Triploid aangegeven heeft.
Men gaat er dan impliciet van uit dat zowel de vraagsteller als de persoon die een antwoord moet geven veronderstellen dat er een sortering is (op welke basis doet er niet toe om de kans te berekenen). Zo fout is het niet om die veronderstelling te maken (dat wanneer je spreekt over "tweede", je automatisch uitgaat van sortering)

Maar aangezien het "traditionele vraagstuk" gaat over de kans dat "beide honden/kinderen een vrouwtje zijn" (en de vraagsteller achterna zei dat 1/3 het correcte antwoord is), zal de vraag gewoon ongelukkig verwoord zijn.
50% lijkt mij hier sowieso in geen enkel geval correct

Racemaniac zei:

'k vind het eigl een interessante vraag hoe de situatie dan is als de persoon aan wie ge het vraagt maar van 1 van de twee het geslacht weet.
De vader heeft dan in dit verhaal maar 1 van de 2 pups gezien, en weet dat dit een vrouwtje is, wat is dan de kans dat de andere ook een vrouwtje is?
Zitten we dan in't 1/2 verhaal of in't 1/3 verhaal. Ge kunt voor beiden argumenteren denk ik, en dat is wat dit zo'n lastig vraagstuk maakt. Zeker de opgave zoals OP ze geeft laat compleet in't midden welke informatie we nu precies hebben .

Klik om te vergroten...

Dan is het 1/2de.
Het geslacht van beide kinderen is volledig onafhankelijk. Als je dus meer informatie weet over het geslacht van één specifiek kind (het is onbelangrijk om te weten of dit over het oudste of jongste gaat, dit mag random gekozen zijn), dan zegt dit niets over het geslacht van het ander kind.

Stel dat je twee muntstukken opgooit en men er zo'n dingske opzet zodat je niet ziet wat geworpen werd.
De kans dat het rechtermuntstuk kop is is 50%.

Als men nu het linkerdoosje opheft en je ziet dat dit kop is en men vraagt wat de kans is dat het muntstuk rechts kop is, dan blijft dit 50%.
Omgekeerd ook als je het rechtermuntstuk ziet en men vraagt wat het linkermuntstuk is. In uw vraag is het dus niet belangrijk om te weten of de persoon het geslacht weet van het oudste of het jongste kind. Het belangrijkste is dat je geen enkele informatie gekregen hebt over dat ander kind.

Om het verschil op intuïtie proberen wat duidelijk te maken:
A)
Stel een gezin met 10 kinderen (dat je niet kent) is van plan om langs te komen bij jullie.
Uiteindelijk is er 1 kind ziek en ze komen maar met 9 kinderen af en het blijken allemaal meisjes te zijn.
Het kind dat ziek is, is random gekozen (bijvoorbeeld het 3de oudste). De kans dat dit een meisje of jongen is, blijft 50%. Die zwangerschap op dat moment stond volledig los van de jongere of oudere kinderen.
Je hebt geen enkele informatie over "de volledige groep" op voorhand ontvangen. Maw, je weet helemaal niets over dat kind dat afwezig is. Dus er is geen enkele reden om aan te nemen dat er een hogere kans is dat dit om een meisje of jongen gaat.

B)
Indien je op voorhand (= voor de vraagstelling) wist dat er tenminste 9 van de 10 meisjes waren (omdat een kennis toevallig dat gezin ook gezien had waarbij er één afwezige was), dan krijg je een heel ander verhaal.
Er is namelijk een veel grotere kans dat de afwezige van nu één van die 9 meisjes was van toen, dan de onbekende afwezige van toen. Maw, de kans dat het afwezige kind nu een meisje zal zijn, is veel groter. Omdat het een jongetje zou zijn, zou het al "toevallig" om die persoon moeten gaan die toen niet tot die groep van 9 meisjes behoorde (1 kans op 10) en dan heb je nog eens 50% kans dat die onbekende persoon een meisje/jongen is.

Lijkt wat op het vraagstuk met de drie deuren zoals iemand hier eerder al zei:

Je doet mee in een spelletjesshow en er zijn drie deuren.
Achter 1 van de drie deuren zit een ferari, achter de andere twee niks.
Jij kiest één van de drie deuren.
De show host opent nu een niet gekozen deur waar niks achter zit (de host weet de ferari namelijk zitten).
En dan zegt hij: "Er schieten dus nu nog 2 deuren over, wil je nu nog van gedacht veranderen naar de deur die je niet gekozen had initieel?"

Moet je dan veranderen van mening? Althans, verhoogt je kans daarmee om de ferari te winnen?

Intuïtief zal je zeggen: dat maakt toch niet uit... Het blijft 50/50 of je nu de ene deur kiest die je eerder koos, of de andere.

Maar dat is fout. Je moet weldegelijk veranderen van deur!

Want de kans dat je initieel een lege deur had gekozen was 2 op 3.
De kans dat de ferari achter één van de twee deuren zit die je niet gekozen hebt is dus ook 2 op 3
Aangezien van die twee deuren die je niet gekozen hebt, de host nu een lege deur opent. Blijft de kans dat achter die andere deur de ferari zit 2 op 3!
ten opzichte van 1 op 3 achter je initieel gekozen deur!

Snappie?

Hiapoe zei:

Lijkt wat op het vraagstuk met de drie deuren zoals iemand hier eerder al zei:

Je doet mee in een spelletjesshow en er zijn drie deuren.
Achter 1 van de drie deuren zit een ferari, achter de andere twee niks.
Jij kiest één van de drie deuren.
De show host opent nu een niet gekozen deur waar niks achter zit (de host weet de ferari namelijk zitten).
En dan zegt hij: "Er schieten dus nu nog 2 deuren over, wil je nu nog van gedacht veranderen naar de deur die je niet gekozen had initieel?"

Moet je dan veranderen van mening? Althans, verhoogt je kans daarmee om de ferari te winnen?

Intuïtief zal je zeggen: dat maakt toch niet uit... Het blijft 50/50 of je nu de ene deur kiest die je eerder koos, of de andere.

Maar dat is fout. Je moet weldegelijk veranderen van deur!

Want de kans dat je initieel een lege deur had gekozen was 2 op 3.
De kans dat de ferari achter één van de twee deuren zit die je niet gekozen hebt is dus ook 2 op 3
Aangezien van die twee deuren die je niet gekozen hebt, de host nu een lege deur opent. Blijft de kans dat achter die andere deur de ferari zit 2 op 3!
ten opzichte van 1 op 3 achter je initieel gekozen deur!

Snappie?

Klik om te vergroten...

Is een ander verhaal hoor Dit probleem komt omdat de "presentator" weet welke deur een slechte deur is. In het geval van de TS hangt het inderdaad af van de interpretatie van de vraag.

sandervdw zei:

Is een ander verhaal hoor Dit probleem komt omdat de "presentator" weet welke deur een slechte deur is. In het geval van de TS hangt het inderdaad af van de interpretatie van de vraag.

Klik om te vergroten...

Inderdaad...

Maar vond deze ook wel goed...

Vooral omdat er mensen zijn die het absoluut niet willen geloven dat je moet wisselen van deur en dat je daardoor je kans vergroot van 1/3 naar 2/3

Hiapoe zei:

Inderdaad...

Maar vond deze ook wel goed...

Vooral omdat er mensen zijn die het absoluut niet willen geloven dat je moet wisselen van deur en dat je daardoor je kans vergroot van 1/3 naar 2/3

Klik om te vergroten...

Ik heb dat onlangs op het werk proberen uitleggen. Tging er niet goed in.

Eens je het extremiseert en uitlegt met 100/1000/1 miljoen miljard deuren begint het wel te dagen

eniac zei:

Ik heb dat onlangs op het werk proberen uitleggen. Tging er niet goed in.

Eens je het extremiseert en uitlegt met 100/1000/1 miljoen miljard deuren begint het wel te dagen

Klik om te vergroten...

Er is een aflevering van 1 van de programma's van James May die hierover gaat. Misschien kan je die eens aanraden . Op de KUL is er zelfs een onderzoek over bezig op dit moment . Blijkbaar is het een populair vraagstuk...

Het is populair omdat het zo tegenstrijdig lijkt - vooral met 3 deuren is het niet zo voor de hand liggend voor velen.
Voor de lol heb ik daar een paar maand geleden nog een simulator voor geschreven in Java. Bevestigde natuurlijk de resultaten.

sandervdw zei:

Er is een aflevering van 1 van de programma's van James May die hierover gaat. Misschien kan je die eens aanraden . Op de KUL is er zelfs een onderzoek over bezig op dit moment . Blijkbaar is het een populair vraagstuk...

Klik om te vergroten...

Wat onderzoekt men op de KUL dan? Dat probleem is toch al bewezen? Ik begrijp niet goed wat je daar dan nog over moet gaan onderzoeken?

bazooka zei:

Wat onderzoekt men op de KUL dan? Dat probleem is toch al bewezen? Ik begrijp niet goed wat je daar dan nog over moet gaan onderzoeken?

Klik om te vergroten...

Ik ken iemand die onderzoek aan het doen is over de psychologie achter waarom dit zo moeilijk te begrijpen is voor veel mensen. Hoort bij een onderzoek ivm "Real life problems". Heeft een link met leerachterstand bij kinderen trouwens.

MilM1 zei:

Het is mij onduidelijk of je met "dit vraagstuk" refereert naar de vraag in deze topic of naar de link die je gepost hebt: Boy or Girl paradox - Wikipedia, the free encyclopedia
Ik veronderstel het tweede (gezien uw antwoord), maar hieronder toch nog een kleine nuance specifiek over de vraag in deze topic.

Klik om te vergroten...

Goh ja, of het nu honden of mensen zijn, dat maakt zoveel niet uit, toch?

eniac zei:

Het is populair omdat het zo tegenstrijdig lijkt - vooral met 3 deuren is het niet zo voor de hand liggend voor velen.
Voor de lol heb ik daar een paar maand geleden nog een simulator voor geschreven in Java. Bevestigde natuurlijk de resultaten.

Klik om te vergroten...

In het geval van het probleem van de threadstarter is daar is wel een probleem mee.
De enige manier om zo'n vraagstuk te gaan simuleren is door het algoritmisch te gaan beschrijven, maar dan moet je assumpties gaan maken die niet in het originele vraagstuk zitten.

Bvb, stel, je neemt alle nesten puppy's ter wereld die bestaan uit twee honden, waarvan er minstens eentje een vrouwtje is. Wat is de kans dat er twee vrouwtjes zijn?
Dan is alle ambiguïteit weg en is het antwoord gewoon 1/3.

Anders kun je ook doen:
Je neemt alle nesten puppy's ter wereld die bestaan uit twee honden. Neem telkens willekeurig 1 hond en check of die een vrouwtje of een mannetje is. Indien een vrouwtje, wat is de kans dat de ander ook een vrouwtje is?
Weerom, geen ambiguïteit en het antwoord is 1/2.


(enfin, met de rare manier waarop de threadstarter het probleem formuleert blijf ik erbij dat het meest logische antwoord 2/3 is )

Riverdale27 zei:

Goh ja, of het nu honden of mensen zijn, dat maakt zoveel niet uit, toch?

Klik om te vergroten...

Natuurlijk niet. Maar de vraag is verschillend ivg met beide mogelijkheden uit uw link.

1. Vraag 1 in uw link: "Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is the probability that both children are girls?"
2. Vraag 2 in uw link: "Mr. Smith has two children. At least one of them is a girl. What is the probability that both children are girls?"
3. Vraag in deze topic: "Mr. Smith has two children. At least one of them is a girl. What is the probability that the second child is a girl?"

Elke vraag kan je opsplitsen in twee delen. Eerste deel is de informatie ("The older child is a girl/boy" ofwel "At least one of them is a girl/boy"), het tweede deel de vraagstelling (both children are boys/girls - second child is a girl/boy).
Je kan dus gerust dit vraagstuk uitbreiden tot 4 mogelijke scenario's:

• Optie1: The first child is a girl - What is the probability that both children are girls? => 1/2
• Optie2: The first child is a girl - What is the probability that the second child is a girl? => 1/2
• Optie3: At least one of them is a girl - What is the probability that both children are girls? => 1/3
• Optie4: At least one of them is a girl - What is the probability that the second child is a girl? => 2/3

Intuïtief gezien is het logisch dat de kans hoger ligt bij optie 4.
Zonder informatie is de kans dat beide kinderen een meisje is 1/4 en dat het tweede kind een meisje is 1/2. Doordat we extra informatie hebben (waardoor bepaalde combinaties uitgesloten kunnen worden), ligt de kans bij beide scenario's iets hoger, namelijk 1/3 (ipv 1/4) en 2/3 (ipv 1/2).

Alhoewel het hier gewoon ongelukkig geformuleerd is (vraagsteller bedoelde optie 3), is het niet echt fout om te veronderstellen dat er stilzwijgend van een gesorteerde rij uitgegaan wordt (manier van sortering is onbelangrijk) wanneer men over een "tweede kind" spreekt. (alhoewel het aan te raden is om dit duidelijker te formuleren)

Vandaar die nuance.

Inderdaad, mooi samengevat.

MilM1 zei:

• Optie1: The first child is a girl - What is the probability that both children are girls? => 1/2
• Optie2: The first child is a girl - What is the probability that the second child is a girl? => 1/2
• Optie3: At least one of them is a girl - What is the probability that both children are girls? => 1/3
• Optie4: At least one of them is a girl - What is the probability that the second child is a girl? => 2/3

Klik om te vergroten...

Fuck normaal ben ik gezegend met een vrij vlot wiskundig/logisch inzicht...maar nu ben ik écht niet mee, en wil het zo graag snappen

At least one of them is a girl - What is the probability that both children are girls?
-> de stelling "at least one of them is a girl" herleidt de vraag die volgt ("What is the probability that both children are girls?") volgens mij naar "what is the probability that the other one is a girl"
Het antwoord op die vraag is volgens mij 50%, want "1 meisje" is gegeven.
Mogelijke combinaties zijn:
meisje-jongen / meisje-meisje / jongen-meisje(=eerste optie)
Maar de volgorde jongen-meisje maakt helemaal niet uit.

spliffrider zei:

Fuck normaal ben ik gezegend met een vrij vlot wiskundig/logisch inzicht...maar nu ben ik écht niet mee, en wil het zo graag snappen

At least one of them is a girl - What is the probability that both children are girls?
-> de stelling "at least one of them is a girl" herleidt de vraag die volgt ("What is the probability that both children are girls?") volgens mij naar "what is the probability that the other one is a girl"
Het antwoord op die vraag is volgens mij 50%, want "1 meisje" is gegeven.
Mogelijke combinaties zijn:
meisje-jongen / meisje-meisje / jongen-meisje(=eerste optie)
Maar de volgorde jongen-meisje maakt helemaal niet uit.

Klik om te vergroten...

A priori opties:

G-G
G-B
B-G
B-B

Dan vertelt men je dat minstens eentje een meisje is. Enkel B-B valt weg en blijven over:

G-G
G-B
B-G

Men vraagt nu: wat is de kans dat beide kinderen meisjes zijn? 1 van de 3 opties voldoet daaraan, dus de kans is 1/3.

Je fout ligt er wellicht in om G-B en B-G als dezelfde optie te zien. Maar dat is niet zo. De volgorde is niet belangrijk in de vraagstelling, maar dat wil niet per se iets zeggen over de kansen op die opties.

Zie antwoord Riverdale

Poging om het in woorden uit te leggen :

spliffrider zei:

-> de stelling "at least one of them is a girl" herleidt de vraag die volgt ("What is the probability that both children are girls?") volgens mij naar "what is the probability that the other one is a girl"

Klik om te vergroten...

spliffrider zei:

want "1 meisje" is gegeven.

Klik om te vergroten...

Dit is uw fout.

Om het gemakkelijker te maken, kan je de kinderen een label geven: Kind A en Kind B.
Stel u daarnaast ook voor dat de man maar 1 kind gezien heeft (Kind A of Kind B) en dit een meisje was. Om die reden geeft hij gewoon door aan de telefoon dat er minstens 1 meisje is. Maw, hij heeft het geslacht doorgegeven van Kind A of Kind B.

In uw redenering vraag je achter het geslacht van één specifiek kind ("het andere kind"). Wie is dit "ander kind"?
Kies hiervoor één van de twee kinderen, bijvoorbeeld "Kind B".(Maw, vervang "het andere kind" door "Kind B".)

Uw fout bestaat er dus in dat je denkt dat de kans 50% is, omdat je er foutief van uitgaat dat Kind A sowieso het meisje is.
Maar het kan evengoed zijn dat Kind B een meisje is en Kind A een mannetje en je dus eigenlijk het geslacht vraagt van het kind waarvan het geslacht net wél werd doorgegeven. (dit laatste vat de fout in uw redenering samen)

Trouwens, om het nog wat complexer te maken p). Uw herformulering sluit eerder aan bij scenario 4 dan bij scenario 3.
De kans dat kind B een meisje is, is dan ook 2/3 (en 1/3 dat beiden een meisje zijn -> zie post Riverdale)