Archief - Wiskunde: gammafuncties
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
NotoriousP
Legacy Member
Uhu zag het net, de enige andere gammafunctie die ik ken is deze:
http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8684b5287e67c01cb3ea9e5086ba364f.png
Maar ik zie niet direct hoe ik daaraan zou beginnen. Wachten op Tom dus...
http://upload.wikimedia.org/math/8/6/8/8684b5287e67c01cb3ea9e5086ba364f.png
Maar ik zie niet direct hoe ik daaraan zou beginnen. Wachten op Tom dus...
Tom!
Legacy Member
Misschien niet onder die naam. Een integraal van deze vorm:
INT e^(-x²) dx
Van 0 tot oneindig bijvoorbeeld, bekend van de statistiek enz.
Ik vraag het maar om te weten op welke manier je dit het beste kan aantonen. Het kan namelijk op verschillende manieren, maar geen enkele is helemaal "triviaal" - je hebt altijd wel iets nodig en ik weet niet wat jij al kent of wat je mag gebruiken...
INT e^(-x²) dx
Van 0 tot oneindig bijvoorbeeld, bekend van de statistiek enz.
Ik vraag het maar om te weten op welke manier je dit het beste kan aantonen. Het kan namelijk op verschillende manieren, maar geen enkele is helemaal "triviaal" - je hebt altijd wel iets nodig en ik weet niet wat jij al kent of wat je mag gebruiken...
Tom!
Legacy Member
Hier is een manier, met die integraal van daarnet:
Gamma(x) = INT(t:0->inf) t^(x-1) e^(-t) dt
Substitutie: stel t = u², dan is dt = 2udu met u ook van 0 tot inf:
Gamma(x) = INT(u:0->inf) 2.u.u^(2x-2) e^(-u²) du
We willen de Gammafunctie in x = 1/2, dus:
Gamma(1/2) = INT(u:0->inf) 2.u.u^(-1) e^(-u²) du
Na vereenvoudiging:
Gamma(1/2) = 2 INT(u:0->inf) e^(-u²) du
Zodat we inderdaad terugvallen op de integraal die ik net vernoemde, maar dan met een factor 2. Ofwel "weet" je dit (van vroeger), ofwel kan je deze integraal berekenen; het geeft sqrt(pi). Ofwel proberen we het nog op een andere manier (of we bepalen bovenstaande integraal...).
Gamma(x) = INT(t:0->inf) t^(x-1) e^(-t) dt
Substitutie: stel t = u², dan is dt = 2udu met u ook van 0 tot inf:
Gamma(x) = INT(u:0->inf) 2.u.u^(2x-2) e^(-u²) du
We willen de Gammafunctie in x = 1/2, dus:
Gamma(1/2) = INT(u:0->inf) 2.u.u^(-1) e^(-u²) du
Na vereenvoudiging:
Gamma(1/2) = 2 INT(u:0->inf) e^(-u²) du
Zodat we inderdaad terugvallen op de integraal die ik net vernoemde, maar dan met een factor 2. Ofwel "weet" je dit (van vroeger), ofwel kan je deze integraal berekenen; het geeft sqrt(pi). Ofwel proberen we het nog op een andere manier (of we bepalen bovenstaande integraal...).
Tom!
Legacy Member
Graag gedaan. Je hebt de Gammafunctie wel met die integraal gezien, neem ik aan? En het oplossen van die laatste integraal lukt ook, of dat mag je gebruiken? Want er zijn dus ook nog andere manieren. Merk op dat je als oplossing dus sqrt(pi) vindt, en niet gewoon pi zoals je in je eerste bericht schreef... Dus (-0,5)! = Gamma(0.5) = sqrt(pi).__Sara zei:Ja, oneigenlijke integralen hebben we inderdaad gezien, de term Gaussische niet
Dankjewel
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.