Archief - Splitsen/Integreren van partieelbreuken

Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
P

Parnakra

Legacy Member
ElBramo zei:
En als ik het goed heb, moet je die vergelijking gelijkstellen aan de vergelijking uit het andere lid. Veel te ingewikkeld en ik ga gewoon erop hopen dat ze dat soort dingen niet vragen :D
Klik om te vergroten...

Bwa, niet echt ingewikkeld hoor. Je hebt twee breuken die aan elkaar gelijk zijn, en de noemers zijn al gelijk. (daar heb je voor gezorgd, dat is als het ware de essentie van partieelbreuken =) )

Als de noemers gelijk zijn, en de breuken zijn gelijk, dan kan het niet anders dan dat de tellers ook gelijk zijn.

En de tellers hier zijn veeltermen (teller rechterlid is eigenlijk: 0x² + 0x + 1), als twee veeltermen gelijk zijn, dan zijn de coëfficiënten bij een onbekende van dezelfde graad gelijk.

(dus coëfficient bij x² in LL = coëfficient bij x² in RL, etc.)
T

Tom!

Legacy Member
Parnakra zei:
Edit: @Tom!, op die site staat wel dat als je (ax+b)^n hebt dat je dan voldoende termen met noemer-graad 1->n moet plaatsen, maar zou je soms kunnen uitleggen/een link geven WAAROM dat moet? (iets theoretischer dus dan 'als bla dan bla')
Klik om te vergroten...
Heeft je leerkracht dat nooit uitgelegd? ;)

Men kan bewijzen dat je elke veeltermbreuk kan splitsen in dergelijke breuken met lineaire noemers en niet-ontbindbare kwadratische noemers (over R). Dit kan je doen door van een n-de graad over te gaan op een graad (n-1) en dit procédé herhaaldelijk toe te passen tot de lineaire term zelf. Hier zie je al waar die verschillende termen vandaan komen.

Inuïtief ook: als je noemer van graad n+1 is, via (ax+b)(cx+d)^n bijvoorbeeld, en je zou enkel (cx+d) opnemen in je voorstel tot splitsing, dan kan je in het algemeen nooit je teller bekomen (die oorspronkelijk maximaal van graad n is). Door A/(ax+b)+B/(cx+d) op gelijke noemer te brengen krijg je hoogstens lineaire termen in x in je teller, en niet van macht n - vandaar dat die hogere machten 'nodig zijn'.
T

Tom!

Legacy Member
Graag gedaan. Om gelijkaardige redenen (machten moeten kloppen, stelsel oplosbaar houden) moet je een lineaire teller voorstellen bij kwadratische noemers (met D < 0). Dus: (Ax+B)/(ax²+bx+c) met b²-4ac < 0.
K

Kreek

Legacy Member
Tom! zei:
Let op de haakjes, je bedoelt de primitieve van 1/(x³ - 3x - 2).
Kan je ontbinden in factoren? Het is duidelijk dat -1 een nulpunt is van de noemer, dus (x+1) is een factor.
Dat geldt zelfs twee keer en de overblijvende factor is (x-2), eventueel zelf af te leiden via de regel van Horner.

Dus: x³-3x-2 = (x-2)(x+1)².
Voorstel tot splitsing: 1/(x³-3x-2) = A/(x-2)+B/(x+1)+C/(x+1)²

Rechterlid terug op de oorspronkelijke noemer brengen en gelijkstellen aan de oorspronkelijke teller (dat is 1). Groeperen volgens machten van x en coëfficiënten identificeren levert een lineair stelsel van 3 vergelijkingen in de 3 onbekenden A,B,C.
Eventueel sneller op te lossen door gebruik te maken van het feit dat als het *voor alle x* moet gelden, dan ook voor enkele goed gekozen waarden. Kies nulpunten van de noemer (hier 2 en -1) om termen te laten wegvallen en eenvoudigere vergelijkingen te krijgen.

Antwoord ter controle: A = 1/9, B = -1/9, C = -1/3, dus:
1/(x³-3x-2) = 1/(9(x-2))-1/(9(x+1))-1/(3(x+1)²)

Nu kan je rechtstreeks term per term integreren: twee keer een ln en één keer gewoon de exponentregel.
Klik om te vergroten...

En hoe vindt je dan juist dat lineair stelsel om A, B en C te vinden? :unsure: Nja groeperen, maar hoe? :p
T

Tom!

Legacy Member
Voorbeeld:

1/((x-1)(x+1)) = A/(x-1)+B/(x+1) = (A(x+1)+B(x-1))/((x-1)(x+1))

Tellers gelijk:

1 = (A(x+1)+B(x-1)) <=> 1 = Ax+A+Bx-B <=> 1 = x(A+B)+(A-B)

Nu is er links geen term in x, dus de coëfficiënt van x rechts moet ook 0 zijn.
Links is de constante term gelijk aan 1, dus rechts moet dat ook zo zijn.

| A+B = 0
| A-B = 1

Oplossen levert A = 1/2 en B = -1/2.

Trucje dat ik eerder vermeldde kan hier toegepast worden (goede keuze van x-waarden om stelsel sneller op te lossen).
We pikken terug op bij de oorspronkelijke vergelijking: 1 = (A(x+1)+B(x-1))

Kies x = 1 => 1 = A2+B0 <=> A = 1/2
Kies x = -1 => 1 = A0 + B(-2) <=> B = -1/2.
K

Kreek

Legacy Member
Ok, bedankt, ik snap het.. Nu eens proberen toepassen op mijn oefening :(
Het archief is een bevroren moment uit een vorige versie van dit forum, met andere regels en andere bazen. Deze posts weerspiegelen op geen enkele manier onze huidige ideeën, waarden of wereldbeelden en zijn op sommige plaatsen gecensureerd wegens ontoelaatbaar. Veel zijn in een andere tijdsgeest gemaakt, al dan niet ironisch - zoals in het ironische subforum Off-Topic - en zouden op dit moment niet meer gepost (mogen) worden. Toch bieden we dit archief nog graag aan als informatiedatabank en naslagwerk. Lees er hier meer over of start een gesprek met anderen.
Terug
Bovenaan