Archief - Dubbelintegralen.

Het blijft mijn nemesis in de wiskunde. ad:

Rechtuit, ik heb meestal moeite met te zien in welke volgorde te integreren, maar dat begint toch wel te lukken.
Maar een ander probleem blijft overeind: integreren zelf.

bvb dubbelintegraal van x/(x²+y²) dxdy in het gebied bepaald door y=x, y=0, x=1 en x=wortel(3)

als ik dat ff teken, dan lijkt het interessanter om eerst naar y te integreren, maar dan weet ik totaal niet wat x/(x²+y²) geïntegreerd zou moeten worden.
Als ik dan eens zie voor eerst te integreren naar x (wat me dus minder goed idee lijkt), dan zou ik zeggen dat ge x²+y² best substitueert door u

dan krijgt ge:
x²+y²=u => x² = u-y²
2xdx=du => dx = du/2x

waardoor het geheel dus wordt: du/2u
dat dan geïntegreerd vormt ln|u|/2 of dus ln|x²+y²|/2
Maar dat lijkt me vast te lopen, want integreren van een ln is niet iets dat we denk ik gezien hebben. (ik denk dat dat gewoon niet gegeven wordt )


Dusja, ergens zit ik fout, misschien ben ik zelfs fout vanaf het begin in mijn redenering, maar ik weet dus niet hoe of waar anders te gaan om er wel te raken.


Iemand die met wat goede raad kan komen opdraven aub?

polaire coordinaten, dan wordt de noemer gelijk aan r.

Je grenzen zijn ook niet moeilijk, stel x=r.cos(phi) en y=r.sin(phi) dan heb je dat phi gaat van 0 tot arctan(wortel(3)). Enige moeilijkheid is dan het uitschrijven van de grens van r.

uip zei:

polaire coordinaten, dan wordt de noemer gelijk aan r.

Je grenzen zijn ook niet moeilijk, stel x=r.cos(phi) en y=r.sin(phi) dan heb je dat phi gaat van 0 tot arctan(wortel(3)). Enige moeilijkheid is dan het uitschrijven van de grens van r.

Klik om te vergroten...

Het lijkt me dat poolcoördinaten geen goed idee zijn wanneer de grenzen voor de transformatie niet bepaald cirkelachtige zaken waren.
De functie zelf is inderdaad wel eenvoudiger dan.

Als je niet overgaat op poolcoördinaten en het gewoon in carthesische coördinaten wilt integreren moet je idd eerst over y integreren, aangezien het gebied x-projecteerbaar is.

Ik ga eerst zelf nog wat verder analyse leren, als ik vanavond nog wat tijd over heb zal ik het eens in detail proberen uit te werken.

Volgens mij gaat het zo:

De dubbele integraal wordt: int(int(x/(x²+y²),y=0..x),x=1..sqrt(3))
(eerst naar y integreren zodat opsplitsen niet nodig is, en omzetten naar poolcoördinaten lijkt mij veel ingewikkelder.)

Door delen van teller en noemer van de integrand door x² vind je gemakkelijk dat:

x/(x²+y²) = (1/x)/(1+(y²/x²))

Vervolgens substitueer je y/x = u met dus dy = x*du en als integratiegrenzen u gaande van 0 tot 1 vermits bij y=x geldt dat u=1

De binnenste integrand wordt dan: (1/x)/(1+u²)*x*du = du/(1+u²)
De binnenste integraal wordt dus: int(1/(1+u²),u=0..1) = arctan(1) - arctan(0) = Pi/4 - 0 = Pi/4
(Herken de integrand die een boogtangens geeft: 1/(1+u²))

De buitenste integraal wordt dan heel makkelijk: int(Pi/4, x=1..sqrt(3)) = Pi/4*sqrt(3) - Pi/4*1 = Pi/4*(sqrt(3)-1) =~ 0,575


Controle met Maple levert hetzelfde op

Inderdaad, goed gezien.
Probleem is dus voor mij dat zien blijkbaar

Heeft niet veel nut vrees ik dat ik volgende hapering neersmijt, het is om de haverklap.

Maar ben er nu toch al eentje wijzer, waarvoor dank.

Bwa als ge zo paar oefeningen doet, begint ge zo dat inzicht te kweken (was bij mij persoonlijk toch het geval), en ook altijd handig als ge uw basisintegralen/afgeleiden kent natuurlijk, gaat ge ze automatisch makkelijker herkennen, indien ge lijst gebruikt kunt ge dat al eens niet inzien. (eigen ervaring dat is)

't Is inderdaad een kwestie van veel doen denk ik, op den duur wordt het een automatisme
Ik kan je wel een paar handigheden/trucjes geven die ik vroeger (en nu soms ook nog wel ) vaak gebruikte:

• eerst en vooral: ken uw basisintegralen (vanbuiten!), dan heb je altijd een idee waar je naartoe moet werken. Als je die niet kent, weet je eigenlijk ook niet waar je mee bezig bent. Sommige vaak voorkomende integralen kan je ook vanbuiten leren en als basisintegralen beschouwen als je dat makkelijker vindt, bv. die van sin² en cos². De omvorming die we in deze oefening gebruikten kan je bv. uitwerken voor int(1/(a²+x²)) en vanbuiten leren, dan hoef je dat niet elke keer meer uit te werken (hoewel je dat na een tijdje vanzelf begint te zien en al in je hoofd begint uit te werken, 't is allemaal een kwestie van oefening).
• tweedes en vooral: arrangeren en repareren: komt iets bijna perfect uit, maar toch niet helemaal, zorg er dan voor dat het wel uitkomt en corrigeer daarna (bv.: bij een bijna volkomen kwadraat waarbij het dubbel product niet helemaal overeenkomt kan je er de juiste term bijtellen/aftrekken tot je een volkomen kwadraat hebt en dan die term er achteraf weer aftrekken/bijtellen)
• (goniometrische) identiteiten kennen: bij machten van (co)sinussen kan je verdubbelings- of t-formules gebruiken, en in het algemeen kan je integranden vaak veel simpeler schrijven (simpeler in functie van basisintegralen dan) door identiteiten te gebruiken
  - integranden met iets van de vorm sqrt(a²-x²) (in teller of noemer bv.): stel x=a*sin(t) of x=a*cos(t)
  Hierdoor kan je via de grondformule de wortel terugbrengen tot een enkele sinus of cosinus
  - integranden met iets van de vorm sqrt(a²+x²) (in teller of noemer bv.): stel x=a*tg(t) of x=a*cotg(t)
  Hierdoor kan je via de identiteit 1+tg²t = 1/cos²t of 1+cotg²t = 1/sin²t de wortel terugbrengen tot een enkele sinus of cosinus
  - integranden met iets van de vorm sqrt(x²-a²) (in teller of noemer bv.): stel x=a*sec(t) of x=a*cosec(t)
  Hierdoor kan je via diezelfde identiteit de wortel terugbrengen tot een enkele tangens of cotangens
• Een integrand met veel verschillende wortels met hetzelfde stuk onder de wortel: stel dat stuk gelijk aan t^a met a het kleinst gemene veelvoud van de wortelexponenten
• Soms is de teller de afgeleide van de noemer, ook al valt dit niet meteen op bij ingewikkeldere integranden. De integraal is dan nochtans makkelijk uitgewerkt, namelijk gewoon de natuurlijke logaritme van (de absolute waarde van) de noemer. Ook voor een product i.p.v. van een quotiënt met teller en noemer werkt dit: de integraal van een functie tot de macht a, vermenigvuldigd met de afgeleide van die functie, is gewoon die functie tot de macht a+1 en dit alles nog eens gedeeld door a+1 (voor a != -1, dan is het een breuk en wordt het opgelost via de ln). Heel makkelijke dingen in feite, maar je moet het wel zien.
  

Dat is ongeveer alles waar ik op dit moment op kan komen, 'k hoop dat je er wat mee bent

Integralen die ze je met de hand laten oplossen zijn vaak niet zo'n gigantisch ingewikkelde integralen, als je 10 substituties moet doorvoeren moet het doordringen dat je waarschijnlijk verkeerd bezig bent. Het zijn vaak heel simpele dingen die in het begin vergezocht lijken, maar eens je er wat mee bezig geweest bent eigenlijk voor de hand liggen.

En: oefenen, oefenen, oefenen. Na verloop van tijd ga je de meest voorkomende types (en dus mogelijke problemen) wel gehad hebben.