Archief - Snijpunten van 2 parabolen met gelijke richtlijn en verschillende brandpunten

Hallo,

Ik zit met het volgende probleem:
Gegeven:
-de coördinaten van 2 brandpunten
-de y-coördinaat van de richtlijn
Gezocht:
-De snijpunten van de parabolen die gedefinieerd zijn door bovenstaande gegevens (dit zouden er in principe steeds 2 moeten zijn, tenzij beide brandpunten gelijk zijn).

Momenteel heb ik het als volgt aangepakt:
- Bepaal de top van elke parabool als het punt dat in het midden tussen de richtlijn en het brandpunt ligt. Dit punt noem ik even (x1, y1)
- De afstand van de richtlijn tot de top (en van de top tot het brandpunt) = p
- Nu is de parabool gegeven door:
[latex]\begin{equation}y=ax^2 + bx + c\end{equation}[/latex]
met
[latex]\begin{eqnarray}
a &=& \frac{1}{4p}\\
b &=& \frac{-x_1}{2p}\\
c &=& \frac{x_1^2}{4p} + y_1
\end{eqnarray}
[/latex]
- Dit geeft a1, b1 en c1 voor parabool 1 en a2, b2 en c2 voor parabool 2.

- Snijpunten zoeken:
[latex]
\begin{eqnarray}
a_1x^2 + b_1x + c_1 &=& a_2x^2 + b_2x + c_2\\
\Rightarrow (a_1 - a_2)x^2 + (b_1 - b_2)x + (c_1 - c_2) &=& 0
\end{eqnarray}
[/latex]
- Dit oplossen via de discriminant geeft beide snijpunten.

Nu is dit alles echter een klein (doch belangrijk) stukje van een computerprogramma dat ik aan het ontwikkelen ben, waarbij ik reken met floating point getallen. De methode van hierboven gebruikt (volgens mij) een zodanige omweg, waardoor de resultaten niet nauwkeurig genoeg zijn (en waarbij ik op allerhande manieren rekening moet houden met de beperkingen van floating point getallen).

Ik heb dus een vermoeden dat dit veel eenvoudiger moet kunnen, vertrekkende van de oorspronkelijke gegevens zonder deze eerst te transformeren naar de vorm [latex]\begin{equation}y = ax^2+bx+c\end{equation}[/latex]

Op het eerste zicht zie ik het even niet (en eerlijk, het is al laat op de avond), kunnen jullie mij verder helpen?

PS: ik heb gezien dat dit forum LaTeX ondersteunt, hoe maak ik hier gebruik van? [edit]done!

b0red zei:

ik heb gezien dat dit forum LaTeX ondersteunt, hoe maak ik hier gebruik van?

Klik om te vergroten...

Bijvoorbeeld (zonder de spatie voor latex):

Dit geeft:

[latex]\begin{eqnarray}
a~x^{2}+b~y^{2}=1 \\
r = a~e^{\frac{2}{\pi}~ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\theta}
\end{eqnarray}[/latex]

Tip: als je op quote drukt bij een post die Latex gebruikt, kan je de broncode zien.

Ik was even aan het redeneren:

Een parabool is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van een rechte (de richtlijn) liggen als van een punt (het brandpunt).

stel:
[latex]
\begin{eqnarray}
f_1 &=& (f_{x1}, f_{y1})&\\
f_2 &=& (f_{x2}, f_{y2})&\\
y &=& c &\qquad\mathrm{(richtlijn)}
\end{eqnarray}
[/latex]
Dan is, dankzij enkele eenvoudige afstandsformules:
[latex]
\begin{eqnarray}
y - c &=& \sqrt{(x - f_{x1})^2 + (y - f_{y1})^2} & \qquad\mathrm{(parabool 1)}\\
y - c &=& \sqrt{(x - f_{x2})^2 + (y - f_{y2})^2} & \qquad\mathrm{(parabool 2)}
\end{eqnarray}
[/latex]

Dit stelsel oplossen naar x en y en eventueel vereenvoudigen zou dan het gewenste resultaat moeten geven.
Ik heb dit alles even ingetikt in maple, en hey presto!

of wacht... misschien is dit toch niet zo praktisch. Op het eerste zicht lijkt het resultaat wel te kloppen als ik enkele testgetallen invul, maar zo ingewikkeld mag dit toch echt niet zijn?

Wat zie ik over het hoofd?

Het stelsel wordt eenvoudiger als je zegt dat de afstand tot beide brandpunten moet gelijk zijn, en de afstand tot 1 van de brandpunten en de lijn.

[latex]
\begin{cases}
y - c = \sqrt{(x - f_{x1})^2 + (y - f_{y1})^2}\\
\sqrt{(x - f_{x1})^2 + (y - f_{y1})^2} = \sqrt{(x - f_{x2})^2 + (y - f_{y2})^2}
\end{cases}

\begin{cases}
(x - f_{x1})^2 + (y - f_{y1})^2 - (y - c)^2 = 0\\
(x - f_{x1})^2 + (y - f_{y1})^2 - (x - f_{x2})^2 - (y - f_{y2})^2 = 0
\end{cases}
[/latex]

Dan vallen de kwadraten van x en y weg in de tweede vergelijking, deze is namelijk de vergelijking van de rechte door het midden van beide punten. Heb echter geen zin om het verder uit te rekenen

Wat je zegt klopt volledig.
De constraint die je oplegt door te zeggen dat de afstanden van het punt naar beide brandpunten gelijk moet zijn zit echter al vervat in het stelsel dat ik gegeven had (aangezien beide vergelijkingen gelijk zijn aan y - c).
Alle pogingen om dit stelsel te vereenvoudigen en op te lossen (in Maple, om mezelf wat rekenwerk te besparen) draaien uit op dezelfde (veel te complexe) oplossing.
Zo heb ik ook het stelsel dat jij gaf eens ingetikt, met hetzelfde resultaat.

Toch enorm bedankt dat je hier even naar gekeken hebt.