Archief - Afgeleiden

Xhizor zei:

zwans niet dat soort wiskunde is toch van een hoger niveau dan het middelbaar

Klik om te vergroten...

Een beetje richting in het hoger/universiteit (iets met een deftige hoeveelheid wiskunde, dus geen richting met alleen wat statistiek) houdt zich niet bezig met deze spielerei van afgeleiden, die worden als gekend beschouwd.

Mijn oplossing, al het voorgaande lijkt mij nogal op een louche wijze gedaan te zijn. Ik leid eerst heel die functie af, zodat je daarna in 0 kan vinden.


df(x)/dx = d/dx ( ( 1-absx)²) + d/dx ( (1+absx)²)
(merkwaardige producten uitwerken)

= d/dx ( (absx)² - 2*absx + 1) + d/dx ( (absx)² + 2*absx + 1)
(absx)² = x²

= 2x - 2*d/dx(absx) + 0 + 2x + 2*d/dx(absx) + 0

= 4x

Hieruit volgt dus dat f(0) afleidbaar zal zijn, en 0 is


Moest 1 van die beide termen weggelaten zijn, dan zou het niet afleidbaar zijn in 0 btw.
(Ik kan ook fout zitten bij het schrappen van die 2*d/dx(absx) -termen op het einde. Geen idee of dat uberhaupt wel mag. Kan goed zijn dat het niet mag en dan zal f'(0) niet gedefinieerd zijn

AndRo zei:

Een beetje richting in het hoger/universiteit (iets met een deftige hoeveelheid wiskunde, dus geen richting met alleen wat statistiek) houdt zich niet bezig met deze spielerei van afgeleiden, die worden als gekend beschouwd.

Klik om te vergroten...

²

Hier werd zelf calculus beschouwd als voorkennis, de eerste les zei de prof letterlijk.

"Volgende week gaan we integralen gebruiken, ik ga er vanuit dat iedereen dat kent en wie het niet kent heeft nog tot volgende week om het te leren"

lantaarnpaal zei:

Mijn oplossing, al het voorgaande lijkt mij nogal op een louche wijze gedaan te zijn. Ik leid eerst heel die functie af, zodat je daarna in 0 kan vinden.


df(x)/dx = d/dx ( ( 1-absx)²) + d/dx ( (1+absx)²)
(merkwaardige producten uitwerken)

= d/dx ( (absx)² - 2*absx + 1) + d/dx ( (absx)² + 2*absx + 1)
(absx)² = x²

= 2x - 2*d/dx(absx) + 0 + 2x + 2*d/dx(absx) + 0

= 4x

Hieruit volgt dus dat f(0) afleidbaar zal zijn, en 0 is


Moest 1 van die beide termen weggelaten zijn, dan zou het niet afleidbaar zijn in 0 btw.
(Ik kan ook fout zitten bij het schrappen van die 2*d/dx(absx) -termen op het einde. Geen idee of dat uberhaupt wel mag. Kan goed zijn dat het niet mag en dan zal f'(0) niet gedefinieerd zijn

Klik om te vergroten...

Dit is de juiste manier in tegenstelling tot Lt. KroftDünkel zijn uitwerking (zie ook https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+(1-abs(x))^2+(1+abs(x))^2). Eventueel kun je de kettingregel gebruiken en de kennis dat d|x|/dx = x/|x| .

Aldus f'(x) = ... = 2(|x| - 1 + |x| + 1) * d|x|/dx = 2 * 2|x| * x / |x| = 4x.

Btw: https://nl.wikipedia.org/wiki/Somregel_(afgeleide)

Lolplayer zei:

²

Hier werd zelf calculus beschouwd als voorkennis, de eerste les zei de prof letterlijk.

"Volgende week gaan we integralen gebruiken, ik ga er vanuit dat iedereen dat kent en wie het niet kent heeft nog tot volgende week om het te leren"

Klik om te vergroten...

Ik heb ooit in 1ste kan fundamentele en toegepaste wiskunde gezeten (kleine 10j geleden) en daar begonnen ze qua calculus, lineaire algebra, etc. nochtans toch vanaf 0 hoor in het eerste semester (idem bij 1ste kan/ba natuurkunde denk ik). Wel aan een goed tempo natuurlijk, maar ik wil maar zeggen dat er dus wel richtingen zijn waar ze dit niet van in het begin als vanzelfsprekend bezien..

iterums zei:

Dit is de juiste manier in tegenstelling tot Lt. KroftDünkel zijn uitwerking (zie ook https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+(1-abs(x))^2+(1+abs(x))^2). Eventueel kun je de kettingregel gebruiken en de kennis dat d|x|/dx = x/|x| .

Aldus f'(x) = ... = 2(|x| - 1 + |x| + 1) * d|x|/dx = 2 * 2|x| * x / |x| = 4x.

Btw: https://nl.wikipedia.org/wiki/Somregel_(afgeleide)

Klik om te vergroten...

Wtf.
Nee. Mijn uitwerking is ook legit.

Ik liet de absolute waarden vallen. Berekende linker-en rechter afgeleide en vergeleek die.

Is legit.

lantaarnpaal zei:

Mijn oplossing, al het voorgaande lijkt mij nogal op een louche wijze gedaan te zijn. Ik leid eerst heel die functie af, zodat je daarna in 0 kan vinden.


df(x)/dx = d/dx ( ( 1-absx)²) + d/dx ( (1+absx)²)
(merkwaardige producten uitwerken)

= d/dx ( (absx)² - 2*absx + 1) + d/dx ( (absx)² + 2*absx + 1)
(absx)² = x²

= 2x - 2*d/dx(absx) + 0 + 2x + 2*d/dx(absx) + 0

= 4x

Hieruit volgt dus dat f(0) afleidbaar zal zijn, en 0 is


Moest 1 van die beide termen weggelaten zijn, dan zou het niet afleidbaar zijn in 0 btw.
(Ik kan ook fout zitten bij het schrappen van die 2*d/dx(absx) -termen op het einde. Geen idee of dat uberhaupt wel mag. Kan goed zijn dat het niet mag en dan zal f'(0) niet gedefinieerd zijn

Klik om te vergroten...

Lantaarnpaal. Neen.

Louche manier. -_-

Een functie is afleidbaar als uw linker en rechterafgeleide dezelfde is.

Bereken dus eerst de linker. (|x| vervangen door -x) Dan de rechter. Abs laten vallen. Wegens positief.

Das de normale gang van zaken. Eerst links. Dan rechts. Links=rechts => afleidbaar

-_-


Waarom moet gij hetgeen tussen haakjes uitwerken en dan afleiden. Kettingregel? Kent ge da. Of is de kettingregel te louche voor u.

Lt. KroftDünkel zei:

Wtf.
Nee. Mijn uitwerking is ook legit.

Ik liet de absolute waarden vallen. Berekende linker-en rechter afgeleide en vergeleek die.

Is legit.

Klik om te vergroten...

Ik had het over uw eerste post. In uw tweede post las ik al niet meer verder na "Ik heb gewoon de linkerlimiet en de rechterlimiet gezocht voor uw afleidbaarheid." :ironic:

lantaarnpaal zei:

Mijn oplossing, al het voorgaande lijkt mij nogal op een louche wijze gedaan te zijn. Ik leid eerst heel die functie af, zodat je daarna in 0 kan vinden.


df(x)/dx = d/dx ( ( 1-absx)²) + d/dx ( (1+absx)²)
(merkwaardige producten uitwerken)

= d/dx ( (absx)² - 2*absx + 1) + d/dx ( (absx)² + 2*absx + 1)
(absx)² = x²

= 2x - 2*d/dx(absx) + 0 + 2x + 2*d/dx(absx) + 0

= 4x

Hieruit volgt dus dat f(0) afleidbaar zal zijn, en 0 is


Moest 1 van die beide termen weggelaten zijn, dan zou het niet afleidbaar zijn in 0 btw.
(Ik kan ook fout zitten bij het schrappen van die 2*d/dx(absx) -termen op het einde. Geen idee of dat uberhaupt wel mag. Kan goed zijn dat het niet mag en dan zal f'(0) niet gedefinieerd zijn

Klik om te vergroten...

Ik heb wel een redeneerfout gemaakt, dat ge de functies van de linker en de rechterafgeleides moet vergelijken. Ik had de nul al ingevuld en dan vergeleken Das fout.

allez, simpele functie:

f(x) = |x|
Afleidbaarheid in 0

Hoe gaat gij dat doen met uw on-louche manier, lantaarnpaal?

Linkerafgeleide in 0 : |x| wordt -x => afleiden -1
Rechterafgeleide in 0 = 1 |x| wordt x => afleiden 1

Niet gelijk aan mekaar, dus niet afleidbaar

Aangezien de afgeleide twee keer een constante functie is, valt er nu wel nix geen 0 meer in te vullen.

iterums zei:

Ik had het over uw eerste post. In uw tweede post las ik al niet meer verder na "Ik heb gewoon de linkerlimiet en de rechterlimiet gezocht voor uw afleidbaarheid." :ironic:

Klik om te vergroten...

Als ge dan toch zo ne slimme bent, weet ge dat Lantaarnpaal zijn manier niet de goede is.

:ironic:
:ironic:
:ironic:

Lt. KroftDünkel zei:

Ik heb wel een redeneerfout gemaakt, dat ge de functies van de linker en de rechterafgeleides moet vergelijken. Ik had de nul al ingevuld en dan vergeleken Das fout.

allez, simpele functie:

f(x) = |x|
Afleidbaarheid in 0

Hoe gaat gij dat doen met uw on-louche manier, lantaarnpaal?

Linkerafgeleide in 0 : |x| wordt -x => afleiden -1
Rechterafgeleide in 0 = 1 |x| wordt x => afleiden 1

Niet gelijk aan mekaar, dus niet afleidbaar

Aangezien de afgeleide twee keer een constante functie is, valt er nu wel nix geen 0 meer in te vullen.



Als ge dan toch zo ne slimme bent, weet ge dat Lantaarnpaal zijn manier niet de goede is.

:ironic:
:ironic:
:ironic:

Klik om te vergroten...

"Als gij dan toch zo ne slimme bent", dan wist je wel dat weliswaar differentieerbaarheid in x continuïteit in x impliceert, maar niet noodzakelijik het omgekeerde. Btw, d|x|/dx = x/|x|.

iterums zei:

"Als gij dan toch zo ne slimme bent", dan wist je wel dat weliswaar differentieerbaarheid in x continuïteit in x impliceert, maar niet noodzakelijik het omgekeerde. Btw, d|x|/dx = x/|x|.

Klik om te vergroten...

Ja, dat eerste was fout van mij;
En wat gaat ge dan doen met uw x/|x|

0 invullen => 0/0

L'Hopital

x/|x| wordt 1 / (x / |x|) => |x| / x terug 0/0

Lt. KroftDünkel zei:

Ja, dat eerste was fout van mij;
En wat gaat ge dan doen met uw x/|x|

0 invullen => 0/0

L'Hopital

x/|x| wordt 1 / (x / |x|) => |x| / x terug 0/0

Klik om te vergroten...

Ergo niet afleidbaar in 0, maar wel in alle andere gevallen. Nooit gezegd dat dat deel van jou daarover fout was, enkel dat het eenvoudig in 1 uitdrukking kan geschreven worden.

Ik kan niet in het hoofd van de opstellers van de opgave of van de leerkracht kruipen, maar ik denk niet dat het bij deze opgaven de bedoeling is van rekenregels van afgeleiden te gebruiken, of van formules zoals (|x|)' = x/|x|.

Een functie is afleidbaar als de limiet (definitie van de afgeleide) bestaat. Voor zover dat relevant is bij een specifieke opgave (bv. bij functies met absolute waarden) kan het nuttig zijn om die limiet op te splitsen in een linker- en rechterlimiet, die resp. overeenstemmen met de linker- en rechterafgeleide. De limiet (en dus de afgeleide) bestaat als linker- en rechterlimieten (resp. linker- en rechterafgeleiden) bestaan en gelijk zijn.

Rekenregels van afgeleiden gebruiken of stellingen zoals die van l'Hôpital veronderstellen al afleidbaarheid, want je gaat die functie afleiden met rekenregels die alleen meer opgesteld en bewezen zijn voor afleidbare functies. Dat kan dus wel sneller zijn, maar het is wellicht niet de bedoeling van oefeningen waar je afleidbaarheid moet nagaan (ik vermoed met de definitie), eerder dan gewoon de afgeleide van een functie bepalen.

Zeggen dat bv. |x| overal afleidbaar is behalve in 0, omdat de afgeleide te schrijven zou zijn als x/|x|, is wellicht niet de bedoeling. Om te weten dat je de afgeleide van |x| kan schrijven als x/|x|, moet je de afleidbaarheid ervan net nagaan a.d.h.v. de definitie. Je bekomt dan -1 als afgeleide voor x<0, 1 voor x>0 en niet afleidbaar voor x = 0. Dat is mooi samen te vatten in één formule, namelijk x/|x|.

Een alternatief waarbij je tot die formule kan komen door wél rekenregels van afleidbare functies te gebruiken en zonder iets te moeten veronderstellen over de afleidbaarheid van |x|, is door |x| te schrijven als sqrt(x²) en dit af te leiden met de gekende rekenregels (vierkantswortel afleiden en kettingregel gebruiken). Je krijgt dan [sqrt(x²)]' = (x²)'/(2.sqrt(x²)) = 2x/(2.sqrt(x²)) = x/sqrt(x²) = x/|x|; analoog met andere functies die absolute waarden bevatten.

Misschien nog een aanvulling voordat sommigen denken dat de definitie gebruiken gewoon 'moeilijk doen om moeilijk te doen' is .

Een methode die hier eerder gebruikt werd, is eigenlijk de volgende: je hebt g(x) en je bepaalt g'(x) (afleiden met rekenregels). Die g'(x) bevat geen absolute waarden meer als je opsplitst naar linker- en rechterlimiet rond het te onderzoeken punt. Wat je op deze manier dus eigenlijk controleert, is of de linker- en rechterlimiet van g'(x) beide bestaan en gelijk zijn. Dat lijkt misschien oké, maar dat is het eigenlijk niet. Als die limieten bestaan en als g continu is in het te onderzoeken punt, dan werkt dat inderdaad. Maar in het algemeen is het bestaan en gelijk zijn van die twee limieten niet equivalent met het bestaan van de limiet die de definitie van de afgeleide is (dus (g(x+h)-g(x))/h met h naar 0). Er bestaan namelijk functies die wél afleidbaar zijn (m.a.w. limiet van definitie afgeleide bestaat) maar waarbij de linker- en rechterlimiet van g'(x) niet bestaan.