Archief - Wiskundig probleemke

Hey,

Ik heb dus een probleemke met mijn wiskunde.

Dit is de opgave:

http://users.pandora.be/matti/jonas/ExamenWiskundeB2007-2008Compilatie.pdf

Oefening 10.

En dit is wat ik al heb:

http://users.pandora.be/matti/jonas/Wisk 10.JPG
http://users.pandora.be/matti/jonas/Wisk 10.JPG (het onderste klopt hier niet van)

De commentaar van de prof:
Eigenwaarden zijn ok. Dan splits je eigenlijk op in 2 gevallen, nl alfa=1 en
alfa<>1. Het eerste geval heb je behandeld en is ok. In het tweede geval
(alfa<>1) zijn er twee eigenwaarden, nl. lambda=alfa<>1 en lambda=1. Voor de
beide eigenwaarden bereken je vervolgens de eigenvectoren. Voor
lambda=alfa<>1 bijvoorbeeld moet je een stelsel opschrijven gelijkaardig aan
dat dat jij opschreef maar de coëfficiënten bij x kloppen niet. Pas dat
eerst aan en gebruik best Gauss-Jordan. Je kan bijvoorbeeld vereenvoudigen
door te delen door alfa-1 waarvan je weet dat het niet nul kan zijn wegens
de veronderstelling. Daarna doe je iets gelijkaardigs voor de eigenwaarde
lambda=1, waarbij je eveneens weet dat alfa<>1 want je zit in dat geval.


Wat ik dus nu moet doen is de eigenvectoren opstellen voor alfa=lambda<>1 . Hiervoor bekom ik de eigenwaarden lambda= 1 (multipliciteit 1) en alfa=lambda<>1 (multipliciteit 2)...
Maar ik geraak dus niet verder...

Kan iemand mij helpen?

Mvg,

Speedy

ge zoekt nu dus uw eigenvectoren?

hier staat een overzichtelijke manier: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php?showtopic=7596&st=0&p=52591&#entry52591

ja ok, dat versta ik wel maar met die parameter erin, wordt het wel iets moeilijker.

Wel grappig (toevallig...) dat ik hier van meer dan drie jaar geleden gequotet wordt


Je hebt dus twee gevallen, namelijk a=1 en a&#8800;1. Voor a=1 krijg je de eenheidsmatrix, dat geval heb je al behandeld.

Tweede geval: a&#8800;1, dus je hebt twee eigenwaarden: 1 (algebraïsche multipliciteit 1) en a&#8800;1 (algebraïsche multipliciteit 2). De matrix zal in dit geval enkel diagonaliseerbaar zijn als er bij de eigenwaarde a twee lineair onafhankelijk eigenvectoren horen (i.e. ook meetkundige multipliciteit 2).

Eigenwaarde 1: invullen en van de matrix A die je bekomt, x bepalen zodat Ax = 0. In stelselvorm, om bijvoorbeeld met Gauss te doen: klik. Tussenstappen heb ik weggelaten, dat is Gauss toepassen.
Uit de eerste rij volgt: x+2z = 0, waaruit x = -2z en uit de tweede y+z=0, waaruit y = -z; zodat (kies z = t) je als eigenvector vindt: (-2t, -t, t).

Eigenwaarde a: eveneens invullen en dan het gelijkaardig stelsel oplossen om de eigenvectoren te bepalen, Gauss levert: klik.
Uit de eerste rij volgt x-2y+z=0, hieruit kan je twee lineair onafhankelijke eigenvectoren halen. Stel y=0 en z=t, dan is x=-t en volgt (-t,0,t) als eerste eigenvector. Stel z=0 en y=s, dan is x = 2t en volgt (2t,t,0) als tweede eigenvector.