Archief - Staande golven

Ik zit met een vrij fundamenteel vraagje over staande golven.

Ge hebt uw golfvergelijking, namelijk een vergelijking afhankelijk van plaats en tijd:

z (x,t) = A cos kx cos wt + B cos kx sin wt + C sin kx cos wt + D sin kx sin wt .
(w = omega)

Om de vergelijking van de staande golf (en haar harmonischen) te vinden, waarbij ge beide eindpunten vasthoudt, kunt ge 2 eenvoudige randvoorwaarden opstellen.

1) z ( 0 , t ) = 0 (op alle tijdstippen t houdt ge het linkerdeel (x = 0) vast)

->>>> C en D zijn dan altijd 0 (want sin 0 = 0) dus blijft over dat
z ( 0, t ) = A cos wt + B sin wt = 0
En dat kan enkel als A en B = 0 ....
C en D hebben we nog niet.
Van de vergelijking van daarstraks blijft nog over :

z (x,t) = ( C sin kx cos wt + D sin kx sin wt)
of herschreven (Simpson)
z = z0 cos (wt + phi) sin kx

2) Vermits ge ook het ander/rechter eind vasthoudt (op afstand L):
z (L, t) = 0 <=> sin kL = 0

sin kL = 0 <=> k = n*pi/L met n = 1,2,3,4...

Daarmee hebt ge uw mogelijke golfvergelijkingen in case dat ge beide eindjes vasthoudt.

Ok, tot zover de theorie Allemaal redelijk straightforward.

Wat nu als ge de golfvergelijking wilt opstellen voor golven waarbij beide uiteinden los zijn?
Ge kunt stellen dat uw middenste punt = 0 (check java applets) en dan komt ge er wel ongeveer... maar in feite kunt ge dat toch niet weten? Of zie ik iets over het hoofd?
Uw middenste punt is trouwens daar niet altijd 0, maar enkel bij de oneven harmonischen...

Dus de vraag is: welke randvoorwaarden moet ge stellen bij de situatie waar beide uiteinden los zijn?

Een staande golf is het resultaat van de superpositie van 2 identieke golven die in de tegenovergestelde richting bewegen. Waarom gebruik jij 4 golfvergelijkingen?

Y1 = A sin(kx-wt)
Y2 = A sin(kx+wt)

Y=Y1 + Y2 = 2Asin(kx)cos(wt)

Wat betreft open aan beide einden, bedoel je hiermee geluidsgolven in een open pijp?

Dan weet ik enkel dat: f = n*v/2*L
f de frequentie, v de snelheid, L de pijplengte en n de graad waarin hij trilt.

Meer hierover weet ik niet...

Edit: Uiteraard als beiden einden los zijn, heb je als randvoorwaarden dat de uiteinden maxima zijn. Dit is miss wat je zocht?

Dus: z ( 0 , t ) = z (L, t) = Max Amplitude.

De 4 golfvergelijkingen die gebruikt werden, is de meest algemene trigonometrische vorm die aan de golfvergelijking voldoet wanneer de golf harmonisch moet zijn.
In (ons) boek (Fishbane) wordt de staande golf afgeleid op basis hiervan.

Uw opgestelde randvoorwaarden: z ( 0 , t ) = z (L, t) = Max Amplitude, klopt niet in de neergeschreven vorm. Immers is enkel z(0,n*Periode) = z(L,n*Periode)= Max amplitude voor n =0,1,2,...
maar op een andere t =/= 0, zal z(0,t)=z(L,t)=/=Max amplitude.
Zie bijvoorbeeld hier.

We zijn idd op zoek naar de frequentie, meerbepaald de golflengte, maar eens de frequentie in bezit, is de golflengte hier vanzelfsprekend onmiddelijk af te leiden.

Edit: dat klopt dus idd, oplossing gevonden, waarvoor eeuwige dank.

Yup, thanks.
Had het gisteren eigenlijk ook al gevonden, maar ene Handsome Hermit reageerde eerst nogal sceptisch ;p