Archief - Ruimtemeetkunde probleem

Hallo, kzit met een probleem met een oefening van ruimtemeetkunde

gevraagd is :

Bepaal de rechte Cm die de rechten a en b snijdt en die door het punt P(o,o,m) gaat, waarbij m een reëel getal is.

Gegeven is:

rechte a <-> { x = -2
{ y - z = 0

rechte b <-> { x =1
{ y + z = 0

Oplossing is:

rechte Cm <-> { mx +2y -2z +2m =0
{mx +y +z -m =0


En nu mijn vraag. Hoe moet ge hieraan beginnen? want al door gewoon een stelsel op te lossen kan ik geen punt vinden zoals P (o,o,m) aangezien da stelsel dan strijdig is. dus met substitutie gaat het al niet.

{x=-2
{x=1
{y-z=0
{y+z=0

met matrixen heb ik het ook al geprobeerd maar dan kom ik logischerwijs op de punten (-2,0,0) en (1,0,0) uit.

We hebben niet echt direct modeloefeningen gemaakt, en ik vraag mij dus af hoe ik er moet aan beginnen. Ge moet mij dus ni direct die oplossing geven. Tis voor mijn eigen en ni voor een huistaak enz.

Alvast bedankt

PS: tis een vraag van het toelatingsexamen van Burgerlijk Ingenieur 2002

bereken het vlak die rechte a en punt P bevat (moet je kunnen)

Zoek het snijpunt S van dat vlak met rechte b (is ook basis)

de rechte SP is uw gezochte rechte

Als je van de rechten a en b de parameter- of vectorvergelijking opstelt, kan je direct een punt en een richtingsvector aflezen. Nu kan je ook zonder al teveel moeite direct twee punten vinden op beide rechten vanuit deze voorstelling, dat is misschien sneller.

Vlak alpha bevat rechte a met punten (-2,1,1) en (-2,2,2) en P = (0,0,m). De vergelijking van een vlak door drie punten kun je opstellen, bijvoorbeeld met een determinant. Dat geeft hier voor alfa: mx + 2y - 2z + 2m = 0.
Vlak beta bevat rechte b met punten (1,1,-1) en (1,2,-2) en P = (0,0,m). Gelijkaardige manier om de vergelijking te bepalen levert voor het vlak beta: mx + y + z - m = 0.

De snijlijn van deze twee vlakken is precies de gezochte rechte, in je oplossing ook gegeven als dat stelsel.

danku, kheb nu als vgl van het vlak
mx + 2 - 2 y - 2z = 0

en als {S} = {m=-2
{x =1
{y= -z

en als cartesische vgl mx + y +z - m= 0 wat al 1 uitkomst is
waarvoor hartelijk dank

*edit
aah merci voor de post boven me, khaddet nog ni gezien

thx ook

Er zijn meestal wel meer methoden om tot het antwoord te geraken. Afhankelijk van hoe je de gegevens krijgt (cartesisch, vector/parameter) en hoe je het antwoord moet geven, is de ene manier wat gemakkelijker/sneller dan de andere. Omdat je oplossing als stelsel gegeven wordt (snijlijn van twee vlakken dus), is het gemakkelijk om de twee vlakken zoeken, dan ben je klaar.

Tom! zei:

Er zijn meestal wel meer methoden om tot het antwoord te geraken. Afhankelijk van hoe je de gegevens krijgt (cartesisch, vector/parameter) en hoe je het antwoord moet geven, is de ene manier wat gemakkelijker/sneller dan de andere. Omdat je oplossing als stelsel gegeven wordt (snijlijn van twee vlakken dus), is het gemakkelijk om de twee vlakken zoeken, dan ben je klaar.

Klik om te vergroten...

Eigenlijk vind ik jouw methode over het algemeen simpeler . Khad er gewoon even niet aan gedacht .

Leek me ook, als ik alleen moeilijkere manieren kende zou ik hebben gezwegen

llo, kheb weer een paar probleempjes, deze zijn de enigste 2 en dan kannek bijna alle oef. uit den boek

kben dus al bij mijn leerkracht geweest voor raad, en die heeft de oef deels opgelost, maar bij de simpele uitwerking, maak ik wss altijd steeds een stomme fout.

er zijn 3 punten gegeven A(-3,4,-2) ; B(4,3,-3) ; C(3,-1,-2)

het vlak a is ook gegeven <-> x = -4 + 2m
y = 1 + 5k -m
z = 4 + 3k -m
(k,m e R)

nu is gevraagd, bereken de punten P en Q die gelegen zijn op BC en tevens behoren tot het vlak a, en als je weet dat het zwaartepunt van APQ de oorsprong is.

nu had ik al de coördinaten van
P ( -4 + 2m, 1 + 5k -m, 4 +3k-m ) e vlak a
Q (k + 4 , 3 + 4k, -3-k)
A (-3, 4,-2 )

en dus is Z ( (-4 + 2m + k +4 -3)/3; (1+5k-m + 3+k+4)/3; (4+3k -m-3-k-2)/3 )
en dus zijn die coördinaten gelijk aan nul, dus

-4 +2m + k +4-3 = 0
<=> 2m - 3 = -k
<=> -2m + 3 =k

1+5k -m 3 + k + 4 = 0
<=> 8 + 6k =m

4+3k-m-3-k-2=0
<=> -1 + 2k =m

en dus is
-1+2k = 8 +6k
<=> k = -9/4

en dan is m= -11/2

ma da klopt dus niet alsek da in mijn coördinaten ingeef,
den uitkomst is;
P(1,1,3)
Q(2,-5,-1)

tzal wss een mega domme fout zijn, ma ik zie ze dus nie hé.... zucht...

______________________

en ander vraagske

gegeven zijn;
3 vgl van vlakken a, b,c
a<-> x + my + z = m
b<-> x + y + z =0
c<-> (m+1)x + my + z = m

gevraagd is, bepaal de waarde van m, zodat de 3 vlakken juist 1 punt gemeen hebben, en geef voor elke gevonden waarde van m de coordinaat van het gemeenschappelijk putn.

dus, ik bereken da mbv een matrix,
| 1 m 1|
| 1 1 1|
| m+1 m 1|
en dan nadien de uitkomsten invullen etc...
dan bekom ik voor
x = -3m+1 / m-1
y = 2 / m-1
z = -m-1 / m-1

en dan is de oplossing,
voor m=-1 ,....
voor m=2,....
voor m=3, ....

maar hoe kom ik hieraan?

bedankt alvast..

Er schort iets aan die eerste opgave. De oplossingen die je geeft, liggen helemaal niet in dat vlak. Bovendien snijdt BC het vlak, dus er is maar één snijpunt. Hoe kunnen P en Q dan verschillen, op BC én in het vlak liggen?

Voor opgave twee: ga na voor welke waarden van m het stelsel geen unieke oplossing heeft, voor alle andere m kan je het snijpunt bepalen in functie van m. Die opsomming "voor m=-1: ..., voor m=2: ...", hoe kom je daar aan?

bij die eerste, liggen die punten BC niet in het vlak a, sry
ik denk dat mijn fout bij het bepalen van die punten ligt, dus bij het begin

voor het 2de das geen 'opsomming', das gewoon de oplossing, er staat
m=-1: (-1,1,0)
m=2 : (-1,4,-3)
m =3 : (-1,3,-2)
er zijn dus meerdere waarden van m mogelijk :/

Volgens mij zijn er oneindig veel waarden voor m dat die vlakken in één punt snijden, vandaar dat ik het zo vreemd vind dat de oplossing er maar drie geeft. Alleen voor m = 1 of m = 0, heb je géén snijpunt van de drie vlakken. Bovendien heeft het snijpunt volgens mij altijd x-coördinaat 0, terwijl het in de oplossingen steeds -1 is. Kijk de opgave nog eens na, heb je die goed doorgegeven?

Voor die eerste, dat klinkt al logischer. Maar nu doet het vlak a helemaal niks, moet je daar niet iets mee doen?

letterlijk vanuit mijn boek
bepaal een waarde voor m zodat de drie vlakken juist één punt gemeen hebben dat drie gehele coordinaatgetallen heeft. geef voor elke gevonden waarde van m de coordinaat van het gemeenschappelijk punt. edit, dat er oneindig veel waarden zijn, zou wel logischer zijn, mss moet ik gewoon willekeurige waarden van m zoeken? en dan die coordinaten ervan vinden?

en bij da eerste heb je toch het vlak a nodig om een punt P of Q zo een algemeen coordinaat te geven? in mijn geval hebbek P gekozen.

Misschien willen ze inderdaad dat je het voor enkele waarden van m uitrekent.

Voor die andere oefening moet je de opgave nog eens duidelijk geven. Als ik in je oorspronkelijke opgave de voorwaarde "en tevens behoren tot het vlak a" laat vallen, dan komt a helemaal niet meer voor in de opgave.

BC behoort tot a, de driehoek abc niet. maar dus wel die ene 1 zijde (BC).
P en Q behoren ook tot a

maar je hebt die vgl van vlak a toch wel nodig? om respectievelijk een punt van het vlak a te nemen, een punt van BC en dan dat punt A hé

Als BC in het vlak a ligt, dan kunnen P en Q inderdaad op BC én in a liggen. Maar met de gegeven coördinaten voor B en C en het vlak a, ligt BC helemaal niet in a.

das raar... sta zo gegeven in mijn boek. mjah toch bedankt alvast hé

Heb je de coördinaten van B en C en de vergelijking van het vlak juist doorgegeven? Nu snijdt de lijn door B en C het vlak a in één punt.

gvd twas te pijzn :d
vgl van het vlak is nu aangepast
sry hoor

Oké, niet erg. Maar ik hetzelfde probleem blijft: de rechte door de punten B en C snijdt het vlak a (en wel in (31/16,-21/4,-15/16)). Dus de volledige zijde BC van de driehoek ABC ligt niet in het vlak a. Klopt er nog iets niet aan de gegevens, of is de vraagstelling anders?