Archief - Een R - R functie vrij extremeren

llo,

hoe moet ge een gewone R - R functie extremeren (dus niet lagrange), als er gevraagd is;

bepaal de afmetingen van de kegel met het grootst mogelijk volume, ingeschreven in een bol met straal 1

de oplossing is, straal 2/3 vierkantswortel2, en hoogte is 4/3

en op wat komt het principe van vrij extremeren eigenlijk neer ? we hebben maar 1 oefening gemaakt, maar kzou het toch willen weten

alvast bedankt.

Je kan het probleem herleiden naar een dimensie lager door een doorsnede te bekijken. Het komt er dan op neer de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek te maximaliseren, als deze ingeschreven is in een cirkel met straal 1.

Ik noteer eerst algemeen:
R: straal van de bol (dus van de cirkel)
r: straal van het grondvlak van de kegel (dus de halve basis van de driehoek)
h: hoogte van de kegel (dus van de driehoek)
V: volume van de kegel

Er geldt: V = pi.h.r²/3.

De hoogte h = R + c waarbij c de afstand is tussen het middelpunt van de cirkel/bol en de basis van de driehoek (grondvlak van de kegel).

Uit Pythagoras volgt: R² = r²+c² => r² = R²-c².

Dus: V = pi.(R+c).(R²-c²)/3, dit geeft V in functie van c.

Afleiden levert: dV/dc = pi(R+c)(R-3c)/3.

Nulpunten hiervan zijn: c = -R en c = R/3.

Je kan nu nagaan welke overeenstemt met wat voor soort extremum. Intuïtief is het echter duidelijk: je krijgt niet het grootste volume door de kegel boven het middelpunt te plaatsen, de oplossing c = -R zal geen maximum zijn (dan zit je gewoon met een punt in de top!). Het enige maximum ligt bij c = R/3.

Dan is V = pi.(R+R/3).(R²-R²/9)/3 = 32.pi.R³/81.

Dit klopt ook met de opgegeven oplossing, want h was R+c dus R+R/3 = 4R/3 en dat is 4/3 voor R = 1.

alle mercie, kga et es op mijn gemak doornemen ^^

Graag gedaan, laat maar weten als er iets onduidelijk is.