Archief - [diff vgln] methode van de nulmakers

Aangezien er in mijne cursus geen enkel voorbeeld sta en ik die oefenzitting door omstandigheden heb gemist, een vraagske.

bv.: (D-1)² y(t) = e^t - t.e^2t

De homogene oplossing is heel rap te vinden. Die is van de vorm " A.e^t + B.t.e^t", waarbij A en B onbekende coeff. zijn (afhankelijk van beginvw'en maar die zijn hier nie gegeven).

Nulmakers voor het rechterlid zijn (D-1) en (D-2)² (juist?).

De homogene, uitgebreide vgl ( L*Lyp(t) = L* b(t) = 0 ) wordt

(D-1)³ (D-2)² y(t) = 0
De oplossing van deze vgl is vd vorm A.e^t + B.t.e^t + C.t².e^t + D.e^2t + D1.t.e^2t

Als we de homogene oplossingen schrappen (die we al gevonden hebben), dan zien we dat particuliere oplossing vd volgende vorm is:
"C.t².e^t + D.e^2t + D1.t.e^2t"

De vorm vd particuliere oplossing bepalen gaat ook zo op het zicht, maar mijn vraag is nu, hoe kan ik nu die coëfficiënten berekenen ZONDER yp in te vullen in de vergelijking en dus die 2 afgeleides te moeten berekenen???
Want in mijn oefeningenboekske staan diff vlg van 6e orde enzo (die ge moet oplossen met nulmakers) en da's dus niet houdbaar om al die afgeleides te berekenen).

Sorry voor de lange post, dank bij voorbaat aan wie kan helpen

en wat is er zo moeilijk aan het berekenen van een 6e afgeleide?

ik zie nie bepaald een andere methode

het is trouwens interessanter om dat op te splitsen in

(D-1)² = e^t en (D-1)² = t.e^2t
dan kunde uw homogene bepalen (y_h) die voor allebei hetzelfde is (hier dus Ae^t + B.t.e^t)
dan voor diejen eerste berekent ge een differentiaal-operator-veelterm waar e^t het antwoord van is : (D-1)
=> (D-1)³ = Ae^t + B.t.e^t + C.t².e^t
ge berekent C door den bazaar in te vullen in uw oorspronkelijke (D-1)² en gelijk te stellen aan e^t
dieje C.t².e^t (met C dan wel ingevuld) zal uw eerste particuliere oplossing zijn (y_p1)
ge doet dan exact hetzelfde voor t.2e^2t zodat ge zult uitkomen op een tweede particuliere y_p2
en uw algemenge oplossing zal dan zijn van de vorm y = y_h + y_p1 - y_p2

grotendeels wa ge dus eigenlijk al gezegd had in da eerste (en die nulmakers voor het rechterlid kloppen ja )